import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
# 1、定义基础参数（贴合数学符号）
n = 200 # 样本数量（对应n个样本x_i，1≤i≤n)
d = 5 # 原始特征维度（x_i∈R^d)
l = 2 # 降维后目标维度（映射矩阵W为d×l）
random_state=42 # 随机种子，保证结果可复现

# 2、生成模拟数据集+标准化（保证各维度均值为0）
# 生成n个d维样本（模拟真实数据）
X,_ = make_blobs(n_samples=n,n_features=d,centers=3,random_state=random_state)
print(f"原始数据矩阵x维度:nxd={X.shape}")

# 标准化：确保每一维度特征均值为0（贴合“假定均值为零”前提）
X_mean=np.mean(X,axis=0) # 计算各维度均值
X_standard = X - X_mean # 中心化（均值归零)
print(f"标准化后数据均值（各维度）:{np.round(np.mean(X_standard,axis=0),6)}") # 验证均值≈0

# 3、核心步骤：求解PCA映射矩阵W
# 步骤3.1：计算协方差矩阵（dxd），反映维度间的相关性
cov_matrix=np.cov(X_standard,rowvar=False) #rowvar=False:每行是样本,每列是特征
print(f"协方差矩阵维度:dxd={cov_matrix.shape}")

# 步骤3.2：求解协方差矩阵的特征值（λ）和特征向量(v）
eigenvalues,eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
# 特征值λ：反映主成分的方差贡献；特征向量v：每一列是一个特征向量（v_j∈R^d）

# 步骤3.3：按特征值从大到小排序,选择前1个特征向量构建映射矩阵W（dx1）
sorted_idx =np.argsort(eigenvalues)[::-1] # 特征值降序索引
W =eigenvectors[:,sorted_idx[:l]] # 构建dxl的映射矩阵W
print(f"映射矩阵w维度:dxl={W.shape}")

# 4.数据降维：Y=X·W（标准化后数据映射）
# 所有样本降维：Y(nxl）=X_standard(nxd)·W(dx1)
Y = np.dot(X_standard,W)
print(f"降维后数据矩阵Y维度:nxl={Y.shape}")

# 单个样本映射验证：x_i(1×d）·W(dxl)→降维为l维向量
x_i=X_standard[0] # 取第一个样本x_1（1xd)
y_i=np.dot(x_i,W)# 单个样本降维
print(f"\n单个样本x_1降维验证:")
print(f"原始x_1维度:1xd={x_i.shape}→降维后y_1维度:1xl={y_i.shape}")